1 - H espace vectoriel euclidien de dimension 4, ensemble des quadruplets Q = [ q₀, q₁, q₂, q₃ ] ou  les q_i sont réels. L'écriture peut être en ligne ou en colonne, la transposition n'ayant pas le même sens que pour les vecteurs.

Base : e₀ = [1 0 0 0 0] appelé scalaire, base du sous espace scalaire S, on confondra souvent S et R ou encore e₀ et 1

     e₁ = [0 1 0 0 ] = i , e₂ = [0 0 1 0 ] = j , e₃ = [0 0 0 1] = k, base du sous espace vectoriel P des quaternions dits purs  ou encore identifié à R³.

Q = [ q₀, q₁, q₂, q₃ ] =[ q₀e₀+ q₁e₁+ q₂e₂+ q₃e₃ ] = [ q₀e₀ + q₁ i₊ q₂ j + q₃k ] =  [ A + V ] --> Décomposition unique

A ou Ae₀  partie scalaire indifféremment traitée comme quaternion neutre ou un réel, V partie vectorielle ( indifféremment traitée comme vecteur ou quaternion.)      H =S + P

Sous ensembles de H :

S : sous espace scalaire, dimension 1, isomorphe à R

P : sous ensemble des quaternions purs, de dimension 3,à partie scalaire nulle, dit vectoriel, isomorphe à R³, donc espace des vecteurs de la géométrie euclidienne classique. 

U : espace des quaternions unitaires ( norme 1 ), isomorphe à l'ensemble des rotations de l'espace R^3.

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( Très théorique )

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2 - REGLES DE CALCUL :

Addition classique, associative et commutative.

Multiplication associative, non commutative :

Donnons la table de multiplication des vecteurs de base ( généralisation du calcul avec les complexes ) i.j = k  .... i² = j² = k² = -1

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3 - PROPRIETES ET UTILISATION DU PRODUIT 

Le lecteur averti fera bien la différence entre les calculs dans H et ceux dans R ou R³ ( produit scalaire ou produit vectoriel ), 

Conséquences , les transpositions de calculs vectoriels dans H ou R³.:

Produit vectoriel et quaternions purs:

Lorsque 2 quaternions sont purs ( vecteurs de R3 ), le produit des quaternions représente le produit vectoriel

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4 - OPERATIONS ELEMENTAIRES : : Conjugaison, norme, inverse

Conjugaison : Q = [ q₀, q₁, q₂, q₃ ] = [ s+V ]      Conjugué  Q* = [ q₀, - q₁, - q₂, - q₃ ] = [ s - V ]

Conséquences :

Règles

(P+Q)* = P* + Q*

Q** = Q

Norme : Q = [ q₀, q₁, q₂, q₃ ] = [ s+V ] 

Q unitaire <==< norme(Q) = 1

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Inverse :

Q unitaire ==>  Q^-1 = Q*

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5 - PRODUIT SCALAIRE DE 2 QUATERNIONS :  ( dot poduct en anglais )

Considérant un quaternion comme un vecteur de l'espace euclidien R⁴, on peut définir le produit scalaire de 2 quaternions classiquement par :

Angle entre 2 quaternions:

Toujours éléments de R4, on définit naturellement l'angle entre 2 quaternions par 

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1 - LES QUATERNIONS UNITAIRES :

Tout quaternion unitaire peut s'écrire avec un angle q et un vecteur U de R³.:

2 - APPLICATION LINEAIRE DE R³ DANS R³ :

On définit une application de P, ensemble des quaternions purs ( donc des vecteurs, donc de R³ ) dans P, par

Le vecteur V est transformé en W, par une ROTATION D'ANGLE q AUTOUR DE L'AXE ORIENTE PAR U

3 - COMPOSITION DES ROTATIONS DE R³ DANS R³ :                                                                     ATTENTION : Rubrique très importante

Dans les applications pratiques, les quaternions définissent des rotations successives transformant notamment le repère fixe R1 en une suite de repères R₂, ... Rn..

TRAVAIL DANS LE REPÈRE FIXE : c.a.d  tous les quaternions sont exprimés dans le repère fixe, alors la multiplication s'opèrent comme pour les applications, inverse de l'ordre des rotations..

Q = Q_n-1.Q_n-2.....Q₁

TRAVAIL AVEC EXPRESSION DANS LES REPÈRES INTERMEDIAIRES : c.a.d  chaque quaternion Q_k, est exprimé dans son repère de départ R_k. La multiplication s'opère alors dans l'ordre naturel des rotations.

Q = Q₁^.Q₂^......Q_n-1

Avantage : L'expression des quaternions est toujours simple.

Voir alors l'écriture en cascade des quaternions, avec les rotations se faisant toujours autour d'un des axes du repère intermédiaire.

avec les règles opératoires vues plus haut

Exemples :  Euler, Cardan

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Euler

Cardan

4 - REPRESENTATION COMPLEXE DES ROTATIONS DE R³ DANS R³ :

Les quaternions unitaires éléments de P peuvent se représenter sous forme complexe ( qui généralise Z = re^iq =r (cosq + i sinq))

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4 - QUATERNIONS ET GEOMETRIE :

a) Symétrie par rapport à un plan ou 

réflexion ( effet miroir )

U est un unitaire normal à P

Le transformé d'un vecteur V est W tel que :

b) Projection sur un plan : Plan P  orienté par U  

c) Projection sur un axe unitaire U

c) Relations symétriques entre 2 vecteurs

Vecteurs U, V représentés par les quaternions purs U et V.

Les résultats ressemblent à ceux ci-dessus

Réjection de U par rapport à V

Projection de U sur V

Réflexion de U par rapport à V

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d) Relations symétriques entre 2 vecteurs

Décomposition d'un quaternion sur un autre

Partie parallèle

Partie orthogonale

Partie parallèle = projection de U sur V

Partie orthogonale = Réjection de U par rapport à V

NB formules comme au dessus

e) Similitude :

Tout quaternion peut se mettre sous la forme ci contre

La transformation de R³ W --->L(W) est manifestement une rotation d'angle q et d'axe U suivie d'une homothétie de rapport ||Q||², donc une similitude

Ci-dessous quelques rotations presque évidentes

q0	q1	q2	q3	Rotation
1	0	0	0	Identité
0	1	0	0	Rotation 180° autour de i
0	0	1	0	Rotation 180° autour de j
0	0	0	1	Rotation 180° autour de k
		0	0	Rotation 90° autour de i
	0		0	Rotation 90° autour de j
	0	0		Rotation 90° autour de k
		0	0	Rotation - 90° autour de i
	0		0	Rotation - 90° autour de j
	0	0		Rotation - 90° autour de k

1 - VECTEUR ROTATION INSTANTANEE ( R mobile/Ra fixe )  :

P est l'ensemble vectoriel des quaternions purs, isomorphe à R³

W  est le quaternion représentant la rotation de R/Ra, exprimé dans la même base que le quaternion Q ( soit R soit Ra )

Conclusion

Explicitée ci-dessous

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Quaternion rotation en axes inertiels I J K

Quaternion rotation en axes mobiles i j k

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2 - DERIVEE DU QUATERNION D'ATTITUDE

 EN AXES INERTIELS  I J K

3 - DERIVEE DU QUATERNION D'ATTITUDE

 EN AXES MOBILES i j k

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V QUATERNIONS ET MISE EN EQUATIONS DE L'ATTITUDE :

Il s'agit ici de la mise en équations du mouvement d'un solide autour de son centre d'inertie, ce que l'on nomme l'attitude ( avion en vol, contrôle d'un satellite en orbite...)

Généralement les paramètres sont des angles, le choix est varié et dépend du mobile. La difficulté avec des angles, est que leur définition géométrique peut entraîner des cas de non définition, avec comme conséquences de possibles "division par zéro" que les calculateurs n'aiment pas. 

L'utilisation des quaternions d'attitude écarte en partie ce problème, mais il en reste un spécifique aux quaternions purs: ils doivent rester de norme 1, c'est une condition à surveiller.

NB : Dans les équations qui suivent le repère R est lié au solide et principal d'inertie.

1- COMPORTEMENT DIFFERENTIEL DU QUATERNION EN AXES LIES AU SOLIDE S:

Système différentiel de 4 équations donnant Q(t) connaissant la rotation instantanée.

NB : Au cours de l'i,tégration, il est nécessaire et indispensable de vérifier à chaque pas que le quaternion reste unitaire dans son évolution

Lien

2- EQUATION D'ATTITUDE EN AXES LIES AU SOLIDE S:

Système différentiel de 4 équations donnant Q(t) connaissant la rotation 

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3- SYSTEME DIFFERENTIEL COMPLET DONNANT VECTEUR ROTATION ET QUATERNION:

Rassemblant les 2 résultats précédents, le système différentiel de 7 équations qui donne Q(t) ( 4 inconnues ) et le vecteur rotation ( 3 inconnues p, q, r ), avec les notations déjà citées plus haut

+ Vérification à chaque pas de la normalisation du quaternion  = NORMALISATION DU QUATERNION

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3 - NORMALISATION DU QUATERNION :

Le quaternion Q = ( q₀ q₁ q₂ q₃ ) représentant une rotation est obligatoirement unitaire et doit le rester durant toute l'intégration.

Dans l'espace R⁴ le vecteur Q à quatre composantes voit son extrémité parcourir la sphère unité E²+ X²+Y²+Z² =1. or il est clair que la différentielle de Q, soit dQ, est dans le plan tangent à cette sphère donc L'extrémité de Q'(t+dt) = Q(t)+Q'(t)dt n'est pas sur la sphère en général, même si le calcul utilise un algorithme d'évaluation de dQ=Q'(t)dt  avec plusieurs points intermédiaires calculés en des temps entre t et t+dt.

Il faut donc ASTREINDRE Q à rester au plus près de la sphère unité, c'est la NORMALISATION DU QUATERNION

a) Pourquoi est-ce capital?

Parce que si au cours du calcul de Q  = (cosq + U sinq) = ( q₀ q₁ q₂ q₃ ),   on veut évaluer q et la norme de Q supérieure à 1 ( même très légèrement ), le calculateur n'aimera pas !!!!

Il faut donc se prémunir de cette éventualité, à chaque pas de calcul.

b) Suggestions de solutions?

N'étant pas un spécialiste de l'intégration numérique ( bien que j'ai pu en réaliser de nombreuses, en "amateur", sous Matlab), je vous livre quelques idées sérieuses suite à mes lectures sur Internet.

1 - Première idée de normalisation:

Elle consiste à calculer le quaternion Q(t), par une intégration de pas constant Dt, à l'aide de la matrice que j'appellerai matrice dérivée normalisante.  Ceci suppose donc que l'on puisse fixer le pas d'intégration.

puis par un algorithme classique d'intégration, calculer  Q(t+Dt ) = Q(t)+DQ_N où DQ_N  est l'accroissement du quaternion durant Dt

Voir les détails explicatifs

Remarque : si on pose x = ||Q|| on a ||Q1||=F(x)=(3-x)*x/2 dont la dérivée s'annule en x=1, donnant un maximum F(1)=1. Ceci nous permet d'affirmer que ||Q1|| est toujours inférieure ou égale à 1 et si Q est unitaire alors Q1 l'est aussi. L'inversion des lignes trigonométriques à partir de Q est donc toujours assurée.

Précision : Pour ce qui est des vérifications? j'ai pu vérifier un mouvement de Poinsot, et notamment un calcul d'énergie cinétique qui doit rester constante, avec une erreur relative de 6 10^-10, entre le début et la fin du calcul, sur une durée de 8000 secondes, avec un pas de 0.5 s. 

1 - Deuxième idée de normalisation:

Elle ressemble beaucoup à la première, mais utilise un gain K, qu'il faut choisir avec soin ( Un premier choix pourrait être K = 1/ Dt )

- Calculer un terme correctif de la longueur du quaternion ( voir note de calcul ci-après)

- Calculer l'accroissement DQ à partir de sa dérivée et d'une méthode d'intégration ( RK4 par exemple ..)

- Calculer un terme correctif de la longueur du quaternion ( voir note de calcul ci-après)

NB1 : La normalisation reste parfaite à chaque pas

NB2 :Sur un cas concret d'intégration durant un temps de 42 jours environ, avec un pas de 0.5 seconde, avec un système conservatif, l'erreur relative sur l'énergie n'a pas dépassé le millionième.

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